1 背景

磁场定向控制（Field-Oriented Control，FOC），又称矢量控制（Vector Control），是一种高性能的电机控制方法。FOC基于伏-秒平衡（volt-second balance）原理，通过控制三相电压，在空间中精确合成任意幅值与角度的电压矢量，从而实现对电机电流（转矩）的精准控制。借助闭环控制器，FOC可实现电流（转矩）、速度及位置的闭环调节，使电机运行更平稳、噪声更低、效率更高，并具备快速的动态响应特性。该技术广泛应用于永磁同步电机（PMSM）、无刷直流电机 (BLDC)等电机系统，是当前高性能电机驱动的主流控制方法之一。

FOC的核心思想是利用数学变换（Clarke与Park变换），将电机的三相定子电流由固定三相坐标系（abc）转换为与转子磁链方向对齐的旋转坐标系（d-q）。在d-q坐标系中，复杂的三相交流电流可分解为励磁电流Id和转矩电流Iq这两个直流分量。通过分别控制这两个分量，可独立调节电机的磁通与转矩。该解耦策略使交流电机的控制逻辑类似于直流电机，从而显著降低整体控制复杂度。

2 永磁同步电机（PMSM）

永磁同步电机是一种以永磁体为转子的同步电机。

2.1 电机结构

如图所示，永磁同步电机的内部结构由转子和定子组成。定子绕组位于外圈，永磁体转子位于中央。定子绕组数量通常为永磁体极对数的三倍。例如，图中永磁体的极对数为1，对应的定子绕组数量为3，相邻绕组在空间上间隔120°。根据安培定律，当定子绕组通电时，会在绕组周围产生与电流方向相对应的磁场。例如，当a相定子绕组中有电流输入时，会在空间中产生指向a相方向的磁场。

2.2 电机旋转原理

如图所示，当电机定子绕组通入三相电流时，三相电流在空间中合成一个电流空间矢量，该矢量产生一个定子磁场Ψ_s，即最终合成的定子磁场。当Ψ_s与转子之间存在夹角时，定子磁场会拽着转子旋转。因此，当定子磁场Ψ_s旋转时，转子会在电磁力的作用下跟随定子磁场同步旋转。

同时，定子磁场Ψ_s可分解为两个方向的分量：

1. Ψ_d（d轴分量）：平行于转子磁场方向，主要用于建立磁链。为实现最大转矩输出，通常将Ψ_d控制为零，使定子磁场的合成方向完全用于转矩产生。
2. Ψ_q（q轴分量）：垂直于转子磁场方向，主要用于产生电磁转矩。

在此情况下，为使定子磁场的作用力完全用于驱动转子旋转，定子磁场Ψ_s的方向必须始终超前转子磁场方向 90°，并保持这一相对关系不变，从而实现定子磁场的最高利用率和最优转矩输出。

通过控制定子电流，可调节定子磁场的大小与方向，从而实现对电机转矩的幅值与方向的精确控制。

3 Clark变换和Park变换及其反变换

在交流电机控制中，若直接在三相坐标系中处理定子三相电流，不仅计算复杂度高，而且难以实现精确控制。为简化控制过程，FOC算法引入了Clarke变换和Park变换。Clarke变换将三相坐标系中的电流转换为静止直角坐标系下的两轴信号（α轴和β轴），以降低计算复杂度并简化后续处理。随后，Park变换进一步将静止坐标系的信号转换为旋转坐标系下的信号（d轴和q轴），实现励磁电流和转矩电流的解耦控制。

3.1 Clarke变换及其反变换

如图所示，I_a​、I_b​、I_c​ 为三相坐标系下的电流大小。通过 Clarke 变换，可以将三相电流分解到静止直角坐标系（α-β）中，其变换公式为：

由于基尔霍夫电流定律I_a​ + I_b​ + I_c​ = 0，可进一步化简以上公式为：

为了进一步简化公式并保证变换时的幅值一致性，同时由于FOC是一个线性系统，可以对等式右侧乘以2/3的系数​，从而实现归一化。这样，最终的Clarke变换公式可以表达为：

通过对公式(3-3)的仿真，我们可以看到，在向Clarke变换输入三相电流后，变换前后的结果：

如图所示，由于等式右侧乘以了2/3的系数，变换前后的幅值保持相等。这种变换称为等幅值变换。

反Clarke变换用于将α-β坐标系中的电流分量Iα和Iβ转回到三相坐标系下，根据公式(3-3)，并结合基尔霍夫电流定律，可以推导出反Clarke变换的公式如下：

3.2 Park变换及其反变换

如图所示，θ为转子当前的角度，其中d轴（直轴）与转子的磁场对齐，q轴（交轴）垂直于磁场。d-q坐标系会随着转子角度θ的变化而旋转。Park变换将原本静止坐标系（α-β）中的电流分量Iα和Iβ转换到旋转坐标系（d-q）下，Park变换公式为：

经过Park变换后，电流分量I_d和I_q分别代表电机的磁通电流分量和转矩电流分量。因此，电机的磁通和转矩可以实现解耦控制，其中I_d控制电机的磁通，I_q控制电机的转矩。

反Park变换用于将控制器输出的旋转坐标系（d-q）电压转换为静止坐标系（α-β）电压。

如图所示，U_d在α轴上的分量为U_d·cos(θ)，U_q在α轴上的分量为-Uq·sin(θ)；U_d在β轴上的分量为U_d·sin(θ)，U_q在β轴上的分量为U_q·cos(θ)。因此，反Park变换公式为：

4 SVPWM原理

如下图所示，为永磁同步电机的驱动电路。通过控制三相逆变器中MOS管的开关状态和占空比，可生成等效的三相电压。这三相电压在空间上合成为一个电压空间矢量，从而决定定子磁场的大小和方向。精确调节MOS管的开关方式来控制这一合成的空间矢量，即为SVPWM（空间矢量脉宽调制）技术。

4.1 SVPWM八个基本矢量

在永磁同步电机的驱动电路中，三相逆变器的每个桥臂在任意时刻只能选择上桥臂或下桥臂导通，不能同时导通上下桥臂。显然，如果上下桥臂同时导通，会导致直流侧发生短路。因此，我们定义上桥臂MOS管闭合且下桥臂MOS管断开时，此时桥臂的开关状态为1；反之，上桥臂MOS管断开且下桥臂MOS管闭合时，桥臂的开关状态为0。根据这一规则，三相逆变器的桥臂开关状态共有八种：000、001、010、011、100、101、110、111。

接下来，我们以开关状态“100”为例，分析此时三相电压合成的空间矢量。

如图所示，N点为中性点（零点）。根据欧姆定律分压，可得a、b、c三相电压的幅值为：

U_a、U_b 、U_c为三相电压的幅值，根据平行四边形法则，可得到合成矢量U₄(100)的幅值为U_dc。

同理，可以根据不同的开关状态绘制出其他合成空间矢量。

如图所示，八种开关状态对应8种合成空间矢量。将这八种合成空间矢量从三相坐标系转换到静止直角坐标系后，类似于Clarke变换的等幅值变换，合成空间矢量的幅值将变为原来的2/3。

如图所示，八个合成空间矢量是SVPWM的基本矢量，其中六个非零矢量的幅值相同，相邻矢量之间的夹角为60°，幅值为(2/3)U_dc​。另外，两个零矢量的幅值为零，位于坐标平面的中心。六个非零矢量将空间划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ六个扇区，每个扇区的角度为60°。

4.2 SVPWM扇区判断

在 SVPWM 算法中，通过相邻的两个非零矢量和零矢量，并根据伏-秒平衡原则，可合成该扇区内任意的电压矢量。因此，SVPWM 算法的第一步是判断合成矢量所处的扇区。

如图所示，六个扇区由三条红线分割。这三条红线对应的函数表达式为：

因此，可以通过A、B、C相对于零的大小关系确定当前合成空间矢量所在的扇区。下表列出了每一扇区对应的A、B、C与零的关系：

Table 1

将 A、B、C 的值定义为：大于零时记为 1，小于零时记为 0，从而可用一个二进制值表示每个扇区。根据该规则，每个扇区对应一个十进制值 N，计算公式为 N = 4C + 2B + A。具体对应关系如下表所示：

Table 2

通过计算N值，可以快速判断当前合成空间矢量所在的扇区。

4.3 相邻矢量作用时长计算

合成任意矢量的操作基于伏-秒平衡原则，类似于PWM的脉宽调制思想，通过控制一个周期内开关的时间比例，可以实现不同电压的等效。这里SVPWM也是一样，通过在一个周期内，控制相邻基本矢量的作用时间（同一时间只能有一个基本矢量输出），并根据矢量的合成法则（即平行四边形法则），就可以实现不同方向的矢量的等效。

以扇区Ⅰ为例，当需要合成的电压空间矢量U_s在α-β坐标系中的分量的大小分别为U_α和U_β时，可通过伏-秒平衡原则计算出基本矢量U₄和U₆在一个时间周期T内的作用时间T₄和T₆​。

如图所示，Ux和Uy分别表示基本矢量方向上Us等效矢量分量的大小。根据伏-秒平衡原则，其表达式为：

同时，通过正交分解，可以用U_x和U_y表示U_α和U_β：

联立公式(2)和(3)，可解得T₄和T₆的表达式：

按照同样的原理，可以计算出其他扇区相邻矢量的作用时长，结果如下：

Table 3

通过观察上述表达式可以发现，相邻矢量的作用时长由一个常量$\frac{\sqrt{3}T}{U_{dc}}$乘以后续变量得到，而这些变量的值在扇区判断时已经计算出。结合SVPWM扇区判断中的公式(4-2)和表2，可以进一步确定N值与基本矢量作用时长的关系：

Table 4

4.4 七段式SVPWM

在SVPWM的一个周期内，包含四个基本矢量的作用时间：两个相邻的非零矢量和两个零矢量。这四个基本矢量对应着四种不同的开关状态。SVPWM通过逆变器MOS管的通断来改变这些开关状态。为了减少MOS管的功耗并延长其使用寿命，我们应尽量减少MOS管的切换次数。七段式SVPWM将一个开关周期划分为七段，使得每次切换基本矢量时，只有一对MOS管的状态发生变化。

以扇区Ⅰ为例，扇区Ⅰ有四种开关状态：000、100、110和111。为了确保每次切换基本矢量时仅有一对MOS管状态发生切换，开关状态的切换顺序为：000 → 100 → 110 → 111 → 110 → 100 → 000，具体过程如图所示。

通过在合适的位置插入两个零矢量，并对零矢量时间均衡分配，使产生的PWM波形实现对称，从而有效降低PWM的谐波成分，同时也减少MOS管的功耗。

同理，以下是每个扇区的开关状态切换顺序：

Table 5

4.5 最大可控圆形矢量边界

合成的电压矢量由相邻基本矢量与零矢量组合产生，因此其幅值存在最大限制。

如图所示，根据矢量合成的平行四边形法则，六边形边界表示合成电压矢量的最大幅值。然而，为在旋转过程中保持幅值恒定，实际应用中将可控范围限定为六边形的内切圆。由此，实际可控的电压矢量最大幅值等于该内切圆半径。

5 FOC算法流程

FOC流程图：

如图所示，这是一个FOC电流闭环控制流程图，其完整控制过程如下：

1. 对电机三相电流中的两相进行采样，得到Ia和Ib​，并将其输入Clarke变换模块。
2. 通过Clarke变换，将Ia和Ib转换为两相静止坐标系电流​Iα和Iβ，并将结果输出至Park变换模块。
3. 通过Park变换，将Iα和Iβ转换为旋转坐标系电流Id和Iq​。计算Id和Iq与设定值Ref_Id和Ref_Iq的误差，并将误差输入PI控制器。
4. PI控制器根据误差计算出控制电压Ud​和Uq，并将其输出至反Park变换模块。
5. 然后通过反Park变换将Ud​和Uq转换回静止坐标系电压Uα和Uβ，并将其输出至SVPWM模块。
6. 通过SVPWM模块调制Uα和Uβ，生成PWM信号，用于控制三相逆变器MOS管开关，从而驱动电机。
7. 循环上述步骤

6 总结

以上是FOC电流闭环控制的原理。在此基础上加入速度环与位置环，即可实现电机的三环控制。电流环作为最内层，负责快速调节电机电流，确保输出转矩的精确控制；速度环位于中间层，通过调节电流环的参考值，实现电机转速的动态响应和平稳运行；位置环作为最外层，通过调整速度环的参考值，确保目标位置的精确跟踪。三环控制在内外层环路的协同作用下，使伺服电机获得高精度和高动态性能的控制效果。

7 REFERENCE

1. https://zhuanlan.zhihu.com/p/103758450?utm_source=qzone、
2. https://blog.csdn.net/linzhe_deep/article/details/105849395
3. https://www.switchcraft.org/learning/2017/3/15/space-vector-pwm-intro